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cos^2(2x)+sin^2(x)=1

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解

cos2(2x)+sin2(x)=1

解

x=2πn,x=π+2πn,x=32π​+2πn,x=34π​+2πn,x=3π​+34πn​,x=π+34πn​
+1
度
x=0∘+360∘n,x=180∘+360∘n,x=120∘+360∘n,x=240∘+360∘n,x=60∘+240∘n,x=180∘+240∘n
解答ステップ
cos2(2x)+sin2(x)=1
両辺から1を引くcos2(2x)+sin2(x)−1=0
三角関数の公式を使用して書き換える
−1+cos2(2x)+sin2(x)
ピタゴラスの公式を使用する: 1=cos2(x)+sin2(x)1−cos2(x)=sin2(x)=sin2(x)−sin2(2x)
−sin2(2x)+sin2(x)=0
因数 −sin2(2x)+sin2(x):(sin(x)+sin(2x))(sin(x)−sin(2x))
−sin2(2x)+sin2(x)
2乗の差の公式を適用する:x2−y2=(x+y)(x−y)sin2(x)−sin2(2x)=(sin(x)+sin(2x))(sin(x)−sin(2x))=(sin(x)+sin(2x))(sin(x)−sin(2x))
(sin(x)+sin(2x))(sin(x)−sin(2x))=0
各部分を別個に解くsin(x)+sin(2x)=0orsin(x)−sin(2x)=0
sin(x)+sin(2x)=0:x=2πn,x=π+2πn,x=32π​+2πn,x=34π​+2πn
sin(x)+sin(2x)=0
三角関数の公式を使用して書き換える
sin(2x)+sin(x)
2倍角の公式を使用: sin(2x)=2sin(x)cos(x)=2sin(x)cos(x)+sin(x)
sin(x)+2cos(x)sin(x)=0
因数 sin(x)+2cos(x)sin(x):sin(x)(2cos(x)+1)
sin(x)+2cos(x)sin(x)
共通項をくくり出す sin(x)=sin(x)(1+2cos(x))
sin(x)(2cos(x)+1)=0
各部分を別個に解くsin(x)=0or2cos(x)+1=0
sin(x)=0:x=2πn,x=π+2πn
sin(x)=0
以下の一般解 sin(x)=0
sin(x)2πn 循環を含む周期性テーブル:
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
x=0+2πn,x=π+2πn
x=0+2πn,x=π+2πn
解く x=0+2πn:x=2πn
x=0+2πn
0+2πn=2πnx=2πn
x=2πn,x=π+2πn
2cos(x)+1=0:x=32π​+2πn,x=34π​+2πn
2cos(x)+1=0
1を右側に移動します
2cos(x)+1=0
両辺から1を引く2cos(x)+1−1=0−1
簡素化2cos(x)=−1
2cos(x)=−1
以下で両辺を割る2
2cos(x)=−1
以下で両辺を割る222cos(x)​=2−1​
簡素化cos(x)=−21​
cos(x)=−21​
以下の一般解 cos(x)=−21​
cos(x)2πn 循環を含む周期性テーブル:
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
x=32π​+2πn,x=34π​+2πn
x=32π​+2πn,x=34π​+2πn
すべての解を組み合わせるx=2πn,x=π+2πn,x=32π​+2πn,x=34π​+2πn
sin(x)−sin(2x)=0:x=3π​+34πn​,x=π+34πn​,x=4πn,x=2π+4πn
sin(x)−sin(2x)=0
三角関数の公式を使用して書き換える
−sin(2x)+sin(x)
和・積の公式を使用する: sin(s)−sin(t)=2sin(2s−t​)cos(2s+t​)=2sin(2x−2x​)cos(2x+2x​)
簡素化 2sin(2x−2x​)cos(2x+2x​):−2cos(23x​)sin(2x​)
2sin(2x−2x​)cos(2x+2x​)
2x−2x​=−2x​
2x−2x​
類似した元を足す:x−2x=−x=2−x​
分数の規則を適用する: b−a​=−ba​=−2x​
=2sin(−2x​)cos(2x+2x​)
負角の公式を使用する: sin(−x)=−sin(x)=2cos(2x+2x​)(−sin(2x​))
括弧を削除する: (−a)=−a=−2cos(2x+2x​)sin(2x​)
類似した元を足す:x+2x=3x=−2cos(23x​)sin(2x​)
=−2cos(23x​)sin(2x​)
−2cos(23x​)sin(2x​)=0
各部分を別個に解くcos(23x​)=0orsin(2x​)=0
cos(23x​)=0:x=3π​+34πn​,x=π+34πn​
cos(23x​)=0
以下の一般解 cos(23x​)=0
cos(x)2πn 循環を含む周期性テーブル:
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
23x​=2π​+2πn,23x​=23π​+2πn
23x​=2π​+2πn,23x​=23π​+2πn
解く 23x​=2π​+2πn:x=3π​+34πn​
23x​=2π​+2πn
以下で両辺を乗じる:2
23x​=2π​+2πn
以下で両辺を乗じる:222⋅3x​=2⋅2π​+2⋅2πn
簡素化
22⋅3x​=2⋅2π​+2⋅2πn
簡素化 22⋅3x​:3x
22⋅3x​
数を乗じる:2⋅3=6=26x​
数を割る:26​=3=3x
簡素化 2⋅2π​+2⋅2πn:π+4πn
2⋅2π​+2⋅2πn
2⋅2π​=π
2⋅2π​
分数を乗じる: a⋅cb​=ca⋅b​=2π2​
共通因数を約分する:2=π
2⋅2πn=4πn
2⋅2πn
数を乗じる:2⋅2=4=4πn
=π+4πn
3x=π+4πn
3x=π+4πn
3x=π+4πn
以下で両辺を割る3
3x=π+4πn
以下で両辺を割る333x​=3π​+34πn​
簡素化x=3π​+34πn​
x=3π​+34πn​
解く 23x​=23π​+2πn:x=π+34πn​
23x​=23π​+2πn
以下で両辺を乗じる:2
23x​=23π​+2πn
以下で両辺を乗じる:222⋅3x​=2⋅23π​+2⋅2πn
簡素化
22⋅3x​=2⋅23π​+2⋅2πn
簡素化 22⋅3x​:3x
22⋅3x​
数を乗じる:2⋅3=6=26x​
数を割る:26​=3=3x
簡素化 2⋅23π​+2⋅2πn:3π+4πn
2⋅23π​+2⋅2πn
2⋅23π​=3π
2⋅23π​
分数を乗じる: a⋅cb​=ca⋅b​=23π2​
共通因数を約分する:2=3π
2⋅2πn=4πn
2⋅2πn
数を乗じる:2⋅2=4=4πn
=3π+4πn
3x=3π+4πn
3x=3π+4πn
3x=3π+4πn
以下で両辺を割る3
3x=3π+4πn
以下で両辺を割る333x​=33π​+34πn​
簡素化x=π+34πn​
x=π+34πn​
x=3π​+34πn​,x=π+34πn​
sin(2x​)=0:x=4πn,x=2π+4πn
sin(2x​)=0
以下の一般解 sin(2x​)=0
sin(x)2πn 循環を含む周期性テーブル:
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
2x​=0+2πn,2x​=π+2πn
2x​=0+2πn,2x​=π+2πn
解く 2x​=0+2πn:x=4πn
2x​=0+2πn
0+2πn=2πn2x​=2πn
以下で両辺を乗じる:2
2x​=2πn
以下で両辺を乗じる:222x​=2⋅2πn
簡素化x=4πn
x=4πn
解く 2x​=π+2πn:x=2π+4πn
2x​=π+2πn
以下で両辺を乗じる:2
2x​=π+2πn
以下で両辺を乗じる:222x​=2π+2⋅2πn
簡素化x=2π+4πn
x=2π+4πn
x=4πn,x=2π+4πn
すべての解を組み合わせるx=3π​+34πn​,x=π+34πn​,x=4πn,x=2π+4πn
すべての解を組み合わせるx=2πn,x=π+2πn,x=32π​+2πn,x=34π​+2πn,x=3π​+34πn​,x=π+34πn​,x=4πn,x=2π+4πn
重複している区間をマージするx=2πn,x=π+2πn,x=32π​+2πn,x=34π​+2πn,x=3π​+34πn​,x=π+34πn​

グラフ

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cos^2(x)=(1-tan^2(x))/(sec^2(x))sin^2(x)-3cos(x)-4=0tan^2(x)+sec(x)=54sin^5(x)=3cos(x/2)=0.5
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