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integral of sqrt(5-x^2)

解

\int 5 - x^{2} d x

解

\frac{5}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x))) + C

解答ステップ

\int 5 - x^{2} d x

三角関数による置換を適用する

= \int 5 cos^{2} (u) d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int cos^{2} (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= 5 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 5 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

代用を戻す

u = arcsin (\frac{1}{5} x)

= 5 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x)))

簡素化

5 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x))) : \frac{5}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x)))

= \frac{5}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x)))

定数を解答に追加する

= \frac{5}{2} (arcsin (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{5} x))) + C

グラフ

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