integral of (x+1)^2e^{-2x}

解

\int (x + 1)^{2} e^{- 2 x} d x

- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} x - \frac{5}{4} e^{- 2 x} + C

解答ステップ

\int (x + 1)^{2} e^{- 2 x} d x

拡張

(x + 1)^{2} e^{- 2 x} : e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}

= \int e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- 2 x} x^{2} d x + \int 2 e^{- 2 x} x d x + \int e^{- 2 x} d x

\int e^{- 2 x} x^{2} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x})

\int 2 e^{- 2 x} x d x = - e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

\int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

簡素化

- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} : - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} x - \frac{5}{4} e^{- 2 x}

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} x - \frac{5}{4} e^{- 2 x}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} x - \frac{5}{4} e^{- 2 x} + C