極限 チートシート
極限の特性
\mathrm{If\:the\:limit\:of\:f(x),\:and\:g(x)\:exists,\:then\:the\:following\:apply:}
\lim_{x\to a}(x}=a
\lim_{x\to{a}}[c\cdot{f(x)}]=c\cdot\lim_{x\to{a}}{f(x)}
\lim_{x\to{a}}[(f(x))^c]=(\lim_{x\to{a}}{f(x)})^c
\lim_{x\to{a}}[f(x)\pm{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\pm\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[f(x)\cdot{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\cdot\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x\to{a}}{f(x)}}{\lim_{x\to{a}}{g(x)}}, \quad "where" \: \lim_{x\to{a}}g(x)\neq0
極限・無限の特性
\mathrm{次のために:}\:\lim_{x\to c}f(x)=\infty, \lim_{x\to c}g(x)=L,\:\mathrm{以下が適用されます。}
\lim_{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=\infty
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=\infty, \quad L>0
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=-\infty, \quad L<0
\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=0
\lim_{x\to \infty}(ax^n)=\infty, \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=\infty,\quad \mathrm{n\:is\:even} , \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=-\infty,\quad \mathrm{n\:is\:odd} , \quad a>0
\lim_{x\to \infty}\left(\frac{c}{x^a}\right)=0
0^{0}
\infty^{0}
\frac{\infty}{\infty}
\frac{0}{0}
0\cdot\infty
\infty-\infty
1^{\infty}
共通の極限
\lim _{x\to \infty}((1+\frac{k}{x})^x)=e^k
\lim _{x\to \infty}((\frac{x}{x+k})^x)=e^{-k}
\lim _{x\to 0}((1+x)^{\frac{1}{x}})=e
極限の規則
定数の極限値
\lim_{x\to{a}}{c}=c
基本的な極限値
\lim_{x\to{a}}{x}=a
挟み撃ちの原理
\mathrm{f,g,hを関数にして,すべての}x\in[a,b]\:\mathrm{（集積点c以外の可能性あり）で}
f(x)\le{h(x)}\le{g(x)}
\mathrm{また,}\lim_{x\to{c}}{f(x)}=\lim_{x\to{c}}{g(x)}=L
\mathrm{と仮定する。その後は任意の}a\le{c}\le{b},\:\lim_{x\to{c}}{h(x)}=L
ロピタルの定理
\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)\:\mathrm{で}\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{0}{0}\:\mathrm{または}\:\lim_{x\to\:a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\:\mathrm{の場合は}
{\lim_{x\to{a}}(\frac{f(x)}{g(x)})=\lim_{x\to{a}}(\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)})}
発散基準
\mathrm{2つのシーケンス,}
\left{x_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{と}\left{y_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{が}
x_n\ne{c}\mathrm{および}y_n\ne{c}
\lim_{n\to\infty}{x_n}=\lim_{n\to\infty}{y_n}=c
\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}\ne\lim_{n\to\infty}{f(y_n)}
\mathrm{で存在する場合,}\lim_{x\to\:c}f(x)\mathrm{\:は存在しない}
極限連鎖律
\lim_{u\:\to\:b}\:f(u)=L,\:\mathrm{and}\:\lim_{x\:\to\:a}g(x)=b\mathrm{で}f(x)\:\mathrm{が}\:x=b
\mathrm{で継続する場合:}\:\lim_{x\:\to\:a}\:f(g(x))=L
代数
