極限 チートシート
If the limit of f(x), and g(x) exists, then the following apply:
limx→a(x)=a
limx→a[c·f(x)]=c·limx→af(x)
limx→a[(f(x))c]=(limx→af(x))c
limx→a[f(x)±g(x)]=limx→af(x)±limx→ag(x)
limx→a[f(x)·g(x)]=limx→af(x)·limx→ag(x)
limx→a[f(x)g(x) ]=limx→af(x)limx→ag(x) , where limx→ag(x)≠0
次のために: limx→cf(x)=∞,limx→cg(x)=L, 以下が適用されます。
limx→c[f(x)±g(x)]=∞
limx→c[f(x)g(x)]=∞, L>0
limx→c[f(x)g(x)]=−∞, L<0
limx→cg(x)f(x) =0
limx→∞(axn)=∞, a>0
limx→−∞(axn)=∞, n is even, a>0
limx→−∞(axn)=−∞, n is odd, a>0
limx→∞(cxa )=0
limx→∞((1+kx )x)=ek
limx→∞((xx+k )x)=e−k
limx→0((1+x)1x )=e
定数の極限値
limx→ac=c
基本的な極限値
limx→ax=a
挟み撃ちの原理
f,g,hを関数にして,すべてのx∈[a,b] （集積点c以外の可能性あり）で
f(x)≤h(x)≤g(x)
また,limx→cf(x)=limx→cg(x)=L
と仮定する。その後は任意のa≤c≤b, limx→ch(x)=L
ロピタルの定理
limx→a(f(x)g(x) ) でlimx→a(f(x)g(x) )=00 または limx→ a(f(x)g(x) )=±∞±∞ の場合は
limx→a(f(x)g(x) )=limx→a(f′(x)g′(x) )
発散基準
2つのシーケンス,
{xn}n=1∞と{yn}n=1∞が
xn≠cおよびyn≠c
limn→∞xn=limn→∞yn=c
limn→∞f(xn)≠limn→∞f(yn)
で存在する場合,limx→ cf(x) は存在しない
極限連鎖律
limu → b f(u)=L, and limx → ag(x)=bでf(x) が x=b
で継続する場合: limx → a f(g(x))=L
代数
極限
