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積分 チートシート

Symbolab 数学チートシート


積分 チートシート

共通積分

\int x^{-1}dx=\ln(x) \int \frac{1}{x} dx=\ln(x)
\int |x|dx=\frac{x\sqrt{{x}^2}}{2} \int e^{x}dx=e^{x}
\int \sin(x)dx=-\cos(x) \int \cos(x)dx=\sin(x)
\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1},\:\quad \:a\ne -1


三角積分

\int \sec^2(x) dx=\tan(x) \int \csc^2(x) dx =-\cot(x)
\int \frac{1}{\sin^2(x)}dx=-\cot(x) \int \frac{1}{\cos^2(x)}dx=\tan(x)


弧の三角積分

\int \frac{1}{{x}^2+1}dx=\arctan(x) \int \frac{-1}{{x}^2+1}dx=\arccot(x)
\int \frac{1}{\sqrt{1-{x}^2}}dx=\arcsin(x) \int \frac{-1}{\sqrt{1-{x}^2}}dx=\arccos(x)
\int \frac{1}{|x|\sqrt{{x}^2-1}} dx = \arcsec(x) \int \frac{-1}{|x|\sqrt{{x}^2-1}} dx = \arccsc(x)
\int \frac{1}{\sqrt{{x}^2+1}} dx = \arcsinh(x) \int \frac{1}{1-{x}^2} dx = \arctanh(x)
\int \frac{1}{|x|\sqrt{{x}^2+1}} dx = -\arccsch(x)


双曲線積分

\int \sech^2(x) dx = \tanh(x) \int \csch^2(x) dx = (-\coth(x))
\int \cosh(x) dx = \sinh(x) \int \sinh(x) dx = \cosh(x)
\int \csch(x) dx = \ln(\tanh(\frac{x}{2})) \int \sec(x) dx = \ln(\tan(x)+\sec(x))


特殊関数の積分

\int \cos(\frac{{x}^2\pi}{2})dx = \C(x) \int \frac{\sin (x)}{x}dx = \Si(x)
\int \frac{\cos (x)}{x}dx = \Ci(x) \int \frac{\sinh (x)}{x}dx = \Shi(x)
\int \frac{\cosh (x)}{x}dx = \Chi(x) \int \frac{\exp (x)}{x}dx = \Ei(x)
\int \exp{-{x}^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\erf(x) \int \exp{{x}^2}dx = \exp{{x}^2}\F(x)
\int \sin(\frac{{x}^2\pi}{2})dx = \S(x) \int \sin({x}^2)dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\S(\sqrt{\frac{2}{\pi}}x)
\int \frac{1}{\ln(x)}dx=\li(x)


不定積分の規則

部品ごとの統合 \int \:uv'=uv-\int \:u'v
定数の積分 \int f\left(a\right)dx=x\cdot f\left(a\right)
定数を取り出します \int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx
合計ルール \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx
解に定数を追加する
\frac{dF(x)}{dx}=f(x)\mathrm{\:の場合は,}\int{f(x)}dx=F(x)+C
べき乗則 \int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1},\:\quad \:a\ne -1
整数置換 \int f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g^'\left(x\right)dx=\int f\left(u\right)du,\:\quad u=g\left(x\right)


定積分の規則

明確な積分境界
\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)
=\lim_{x\to b-}(F(x))-\lim _{x\to a+}(F(x))
奇数関数 \mathrm{もしも}\:f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\Rightarrow\int _{-a}^{a}f(x)dx=0
未定義点
\mathrm{存在する場合は}\:b,\:a<b<c,\:f(b)=\mathrm{未定義},
\int_{a}^{c}\:f(x)dx=\int_{a}^{b}\:f(x)dx+\int_{b}^{c}\:f(x)dx
同じポイントが定義されています \int _a^a\:f\left(x\right)dx=0