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integral of (x^2)/(\sqrt[3]{1+2x)}

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解

∫31+2x​x2​dx

解

81​(83​(1+2x)38​−56​(1+2x)35​+23​(1+2x)32​)+C
解答ステップ
∫31+2x​x2​dx
u置換積分法を適用する
=∫83u​(u−1)2​du
定数を除く: ∫a⋅f(x)dx=a⋅∫f(x)dx=81​⋅∫3u​(u−1)2​du
拡張 3u​(u−1)2​:u35​−2u32​+3u​1​
=81​⋅∫u35​−2u32​+3u​1​du
総和規則を適用する: ∫f(x)±g(x)dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx=81​(∫u35​du−∫2u32​du+∫3u​1​du)
∫u35​du=83​u38​
∫2u32​du=56​u35​
∫3u​1​du=23​u32​
=81​(83​u38​−56​u35​+23​u32​)
代用を戻す u=1+2x=81​(83​(1+2x)38​−56​(1+2x)35​+23​(1+2x)32​)
定数を解答に追加する=81​(83​(1+2x)38​−56​(1+2x)35​+23​(1+2x)32​)+C

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