ja

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

人気のある三角関数 >

3sin(x)-4sin^3(x)=1-2sin^2(x)

解

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

解

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

+1

度

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 23 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

置換で解く

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

仮定:

sin (x) = u

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2} : u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

2 u^{2}

を左側に移動します

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

両辺に

2 u^{2}

を足す

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1 - 2 u^{2} + 2 u^{2}

簡素化

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

1

を左側に移動します

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

両辺から

1

を引く

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 1 - 1

簡素化

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

標準的な形式で書く

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

因数

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 : - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1

共通項をくくり出す

- 1

= - (4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1)

因数

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1 : (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

有理根定理を使用する

a_{0} = 1, a_{n} = 4

a_{0} : 1

の除数,

a_{n} : 1, 2, 4

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

は式の累乗根なので

u - 1

をくくり出す

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

割る

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} : \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

分子

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

商 = 4 u^{2}

u - 1

に

4 u^{2}

を乗じる:

4 u^{3} - 4 u^{2}

4 u^{3} - 4 u^{2}

を

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 2 u^{2} - 3 u + 1

このため

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

割る

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

分子

2 u^{2} - 3 u + 1

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

商 = 2 u

u - 1

に

2 u

を乗じる:

2 u^{2} - 2 u

2 u^{2} - 2 u

を

2 u^{2} - 3 u + 1

から引いて新しい余りを得る

余り = - u + 1

このため

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

割る

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

分子

- u + 1

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{- u}{u} = - 1

商 = - 1

u - 1

に

- 1

を乗じる:

- u + 1

- u + 1

を

- u + 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 0

このため

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

= - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

u - 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

解く

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

解く

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

解くとthe二次式

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

規則を適用

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

数を足す:

4 + 16 = 20

= 20

以下の素因数分解:

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20220 = 10 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 10

10210 = 5 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

因数

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

書き換え

= - 2 \cdot 1 + 25

共通項をくくり出す

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

共通因数を約分する:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

因数

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

書き換え

= - 2 \cdot 1 - 25

共通項をくくり出す

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

共通因数を約分する:

2

= - \frac{1 + 5}{4}

二次equationの解:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

解答は

u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

以下の一般解

sin (x) = 1

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

以下の一般解

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

以下の一般解

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

sin^2(a)=((2tan(a)))/((1+tan^2(a)))

(tan(a))/2 = 2/11

sin^2(x)-cos(x)= 1/2

cos(x)[3sin(x)-2]=0

sin^3(x)+sin(x)-4=0