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人気のある三角関数 >

arctan(x/3)+arctan(x/2)=arctan(x)

解

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

解

x = 0, x = - 1, x = 1

解答ステップ

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

両辺から

arctan (x)

を引く

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) - arctan (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- arctan (x) + arctan (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}})

和・積の公式を使用する:

arctan (s) - arctan (t) = arctan (\frac{s - t}{1 + s t})

= arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

三角関数の逆数プロパティを適用する

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = tan (0)

tan (0) = 0

tan (0)

次の自明恒等式を使用する:

tan (0) = 0

tan (0)

tan (x)

πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 0

= 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

解く

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0 : x = 0, x = - 1, x = 1

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

簡素化

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} : \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x = \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

分数を乗じる:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

数を足す:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

数を乗じる:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

結合

\frac{x}{3} + \frac{x}{2} : \frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

以下の最小公倍数:

3, 2 : 6

3, 2

最小公倍数 (LCM)

以下の素因数分解:

3 : 3

3

3

は素数なので, 因数分解できない

= 3

以下の素因数分解:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

3

または以下のいずれかで生じる最大回数, 各因数を乗じる:

2

= 3 \cdot 2

数を乗じる:

3 \cdot 2 = 6

= 6

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

6

\frac{x}{3}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

\frac{x}{2}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

類似した元を足す:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

結合

1 - \frac{x ^{2}}{6} : \frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

数を乗じる:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} x

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 xx}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

5 xx = 5 x^{2}

5 xx

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 5 x^{1 + 1}

数を足す:

1 + 1 = 2

= 5 x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

乗じる

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} : 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

共通因数を約分する:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} + 1} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

分数を乗じる:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

数を足す:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

数を乗じる:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

結合

\frac{x}{3} + \frac{x}{2} : \frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

以下の最小公倍数:

3, 2 : 6

3, 2

最小公倍数 (LCM)

以下の素因数分解:

3 : 3

3

3

は素数なので, 因数分解できない

= 3

以下の素因数分解:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

3

または以下のいずれかで生じる最大回数, 各因数を乗じる:

2

= 3 \cdot 2

数を乗じる:

3 \cdot 2 = 6

= 6

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

6

\frac{x}{3}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

\frac{x}{2}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

類似した元を足す:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

結合

1 - \frac{x ^{2}}{6} : \frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

数を乗じる:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

結合

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}} : \frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}} + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} ) + 5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2} = 6 + 4 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) = 6 - x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2})

乗算:

1 \cdot (6 - x^{2}) = (6 - x^{2})

= (6 - x^{2})

括弧を削除する:

(a) = a

= 6 - x^{2}

= 6 - x^{2} + 5 x^{2}

類似した元を足す:

- x^{2} + 5 x^{2} = 4 x^{2}

= 6 + 4 x^{2}

= \frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

結合

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x : \frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x

元を分数に変換する:

x = \frac{x 6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - \frac{x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 x - x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

乗じる

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} : 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

共通因数を約分する:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x - 6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6} x}{6 - x ^{2}}

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} = x (6 - x^{2})

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) x \cdot 6}{6}

共通因数を約分する:

6

= (6 - x^{2}) x

= \frac{5 x - x ( - x ^{2} + 6 )}{6 - x ^{2}}

拡張

5 x - (6 - x^{2}) x : - x + x^{3}

5 x - (6 - x^{2}) x

= 5 x - x (6 - x^{2})

拡張

- x (6 - x^{2}) : - 6 x + x^{3}

- x (6 - x^{2})

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 6, c = x^{2}

= - x \cdot 6 - (- x) x^{2}

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= - 6 x + x^{2} x

x^{2} x = x^{3}

x^{2} x

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x = x^{2 + 1}

= x^{2 + 1}

数を足す:

2 + 1 = 3

= x^{3}

= - 6 x + x^{3}

= 5 x - 6 x + x^{3}

類似した元を足す:

5 x - 6 x = - x

= - x + x^{3}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

分数を割る:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - x + x ^{3} ) ( 6 - x ^{2} )}{( 6 - x ^{2} ) ( 6 + 4 x ^{2} )}

共通因数を約分する:

6 - x^{2}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- x + x^{3} = 0

解く

- x + x^{3} = 0 : x = 0, x = - 1, x = 1

- x + x^{3} = 0

因数

- x + x^{3} : x (x + 1) (x - 1)

- x + x^{3}

共通項をくくり出す

x : x (x^{2} - 1)

x^{3} - x

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

x^{3} = x^{2} x

= x^{2} x - x

共通項をくくり出す

x

= x (x^{2} - 1)

= x (x^{2} - 1)

因数

x^{2} - 1 : (x + 1) (x - 1)

x^{2} - 1

1

を書き換え

1^{2}

= x^{2} - 1^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

x^{2} - 1^{2} = (x + 1) (x - 1)

= (x + 1) (x - 1)

= x (x + 1) (x - 1)

x (x + 1) (x - 1) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

x = 0 or x + 1 = 0 or x - 1 = 0

解く

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

1

を右側に移動します

x + 1 = 0

両辺から

1

を引く

x + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

x = - 1

x = - 1

解く

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

1

を右側に移動します

x - 1 = 0

両辺に

1

を足す

x - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

x = 1

x = 1

解答は

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

解を検算する

未定義の (特異) 点を求める:

x = 6, x = - 6

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

の分母をゼロに比較する

解く

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0 : x = 6, x = - 6

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

1

を右側に移動します

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

両辺から

1

を引く

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} - 1 = 0 - 1

簡素化

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

簡素化

- \frac{x ^{2}}{6} = - 1

以下で両辺を乗じる:

- 6

(- \frac{x ^{2}}{6}) (- 6) = (- 1) (- 6)

x^{2} = 6

x^{2} = f (a)

の場合, 解は

x = f (a), - f (a)

x = 6, x = - 6

以下の点は定義されていない

x = 6, x = - 6

未定義のポイントを解に組み合わせる:

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

元のequationに当てはめて解を検算する

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

0 :

真

0

挿入

n = 1

0

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

の挿入向け

x = 0

arctan (\frac{0}{3}) + arctan (\frac{0}{2}) = arctan (0)

改良

0 = 0

\Rightarrow 真

解答を確認する

- 1 :

真

- 1

挿入

n = 1

- 1

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

の挿入向け

x = - 1

arctan (\frac{- 1}{3}) + arctan (\frac{- 1}{2}) = arctan (- 1)

改良

- 0.78539 \dots = - 0.78539 \dots

\Rightarrow 真

解答を確認する

1 :

真

1

挿入

n = 1

1

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

の挿入向け

x = 1

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (\frac{1}{2}) = arctan (1)

改良

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow 真

x = 0, x = - 1, x = 1

グラフ

人気の例

solvefor w,y=arctan(1+4w)

cos^4(a)=8cos^4(a)-8cos^2(a)+1

sin^2(a)-4sin(a)+3=0

4sin^2(x)-4cos(x)-1=0