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人気のある三角関数 >

tan^2(x)+tan(x)+cot(x)+cot^2(x)=4

解

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

解

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

+1

度

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 110.90515 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 159.09484 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

解答ステップ

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

両辺から

4

を引く

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) - 4 = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + tan (x) + tan^{2} (x)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

置換で解く

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

仮定:

cot (x) = u

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

LCMで乗じる

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

以下の最小公倍数を求める:

u^{2}, u : u^{2}

u^{2}, u

最小公倍数 (LCM)

u^{2}

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

u

= u^{2}

以下で乗じる: LCM=

u^{2}

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

簡素化

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

簡素化

u u^{2} : u^{3}

u u^{2}

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

数を足す:

1 + 2 = 3

= u^{3}

簡素化

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

数を足す:

2 + 2 = 4

= u^{4}

簡素化

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

共通因数を約分する:

u^{2}

= 1

簡素化

\frac{1}{u} u^{2} : u

\frac{1}{u} u^{2}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

乗算:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= \frac{u ^{2}}{u}

共通因数を約分する:

u

= u

簡素化

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

規則を適用

0 \cdot a = 0

= 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

解く

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

標準的な形式で書く

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 = 0

因数

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 : (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

有理根定理を使用する

a_{0} = 1, a_{n} = 1

a_{0} : 1

の除数,

a_{n} : 1

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

は式の累乗根なので

u - 1

をくくり出す

= (u - 1) \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

割る

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

分子

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

商 = u^{3}

u - 1

に

u^{3}

を乗じる:

u^{4} - u^{3}

u^{4} - u^{3}

を

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

このため

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

割る

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

分子

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

商 = 2 u^{2}

u - 1

に

2 u^{2}

を乗じる:

2 u^{3} - 2 u^{2}

2 u^{3} - 2 u^{2}

を

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

から引いて新しい余りを得る

余り = - 2 u^{2} + u + 1

このため

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

割る

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

分子

- 2 u^{2} + u + 1

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

商 = - 2 u

u - 1

に

- 2 u

を乗じる:

- 2 u^{2} + 2 u

- 2 u^{2} + 2 u

を

- 2 u^{2} + u + 1

から引いて新しい余りを得る

余り = - u + 1

このため

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

割る

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

分子

- u + 1

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{- u}{u} = - 1

商 = - 1

u - 1

に

- 1

を乗じる:

- u + 1

- u + 1

を

- u + 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 0

このため

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

因数

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1 : (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

有理根定理を使用する

a_{0} = 1, a_{n} = 1

a_{0} : 1

の除数,

a_{n} : 1

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

は式の累乗根なので

u - 1

をくくり出す

= (u - 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + 3 u + 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

割る

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

分子

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

商 = u^{2}

u - 1

に

u^{2}

を乗じる:

u^{3} - u^{2}

u^{3} - u^{2}

を

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 3 u^{2} - 2 u - 1

このため

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

割る

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

分子

3 u^{2} - 2 u - 1

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{3 u ^{2}}{u} = 3 u

商 = 3 u

u - 1

に

3 u

を乗じる:

3 u^{2} - 3 u

3 u^{2} - 3 u

を

3 u^{2} - 2 u - 1

から引いて新しい余りを得る

余り = u - 1

このため

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} + 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

割る

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

分子

u - 1

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{u}{u} = 1

商 = 1

u - 1

に

1

を乗じる:

u - 1

u - 1

を

u - 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 0

このため

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} + 3 u + 1

= u^{2} + 3 u + 1

= (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

改良

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 3 u + 1 = 0

解く

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

解く

u^{2} + 3 u + 1 = 0 : u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u^{2} + 3 u + 1 = 0

解くとthe二次式

u^{2} + 3 u + 1 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 1, b = 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 3^{2} - 4

3^{2} = 9

= 9 - 4

数を引く:

9 - 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 1}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 + 5}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 + 5}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 - 5}{2}

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

数を乗じる:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 - 5}{2}

二次equationの解:

u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

解答は

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

解を検算する

未定義の (特異) 点を求める:

u = 0

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u}

の分母をゼロに比較する

解く

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

規則を適用

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

以下の点は定義されていない

u = 0

未定義のポイントを解に組み合わせる:

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

代用を戻す

u = cot (x)

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = 1

以下の一般解

cot (x) = 1

cot (x)

πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

以下の一般解

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

以下の一般解

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

すべての解を組み合わせる

x = \frac{π}{4} + πn, x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn, x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

10進法形式で解を証明する

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

グラフ

人気の例

cos^2(x)+3|cos(x)|-1=0

cos^5(x)=sin(75)

csc^2(x)=sec(x)

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)