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sin((2pi)/5)

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解

sin(52π​)

解

42​5+5​​​
+1
十進法表記
0.95105…
解答ステップ
sin(52π​)
三角関数の公式を使用して書き換える:cos(10π​)
sin(52π​)
次の恒等を使用する: sin(x)=cos(2π​−x)=cos(2π​−52π​)
簡素化:2π​−52π​=10π​
2π​−52π​
以下の最小公倍数: 2,5:10
2,5
最小公倍数 (LCM)
以下の素因数分解: 2:2
2
2 は素数なので, 因数分解できない=2
以下の素因数分解: 5:5
5
5 は素数なので, 因数分解できない=5
2 または以下のいずれかで生じる最大回数, 各因数を乗じる:5=2⋅5
数を乗じる:2⋅5=10=10
LCMに基づいて分数を調整する
該当する分母を乗じてLCMに変えるために
必要な量で各分子を乗じる 10
2π​の場合:分母と分子に以下を乗じる: 52π​=2⋅5π5​=10π5​
52π​の場合:分母と分子に以下を乗じる: 252π​=5⋅22π2​=104π​
=10π5​−104π​
分母が等しいので, 分数を組み合わせる: ca​±cb​=ca±b​=10π5−4π​
類似した元を足す:5π−4π=π=10π​
=cos(10π​)
=cos(10π​)
三角関数の公式を使用して書き換える:21+cos(5π​)​​
cos(10π​)
cos(10π​)を以下として書く: cos(25π​​)=cos(25π​​)
半角の公式を使用:cos(2θ​)=21+cos(θ)​​
2倍角の公式を使用cos(2θ)=2cos2(θ)−1
θ を以下で代用: 2θ​cos(θ)=2cos2(2θ​)−1
辺を交換する2cos2(2θ​)=1+cos(θ)
以下で両辺を割る2cos2(2θ​)=2(1+cos(θ))​
両側で平方根
次の四分円に従って根号を選びます: 2θ​:
範囲[0,2π​][2π​,π][π,23π​][23π​,2π]​四分円IIIIIIIV​sin正正負負​cos負負負正​​
cos(2θ​)=2(1+cos(θ))​​
=21+cos(5π​)​​
=21+cos(5π​)​​
三角関数の公式を使用して書き換える:cos(5π​)=45​+1​
cos(5π​)
以下を証明する:cos(5π​)−sin(10π​)=21​
加法定理に次の積を使用する: 2sin(x)cos(y)=sin(x+y)−sin(x−y)2cos(5π​)sin(10π​)=sin(103π​)−sin(10π​)
以下を証明する:2cos(5π​)sin(10π​)=21​
2倍角の公式を使用: sin(2x)=2sin(x)cos(x)sin(52π​)=2sin(5π​)cos(5π​)sin(52π​)sin(5π​)=4sin(5π​)sin(10π​)cos(5π​)cos(10π​)
以下で両辺を割るsin(5π​)sin(52π​)=4sin(10π​)cos(5π​)cos(10π​)
次の恒等を使用する: sin(x)=cos(2π​−x)sin(52π​)=cos(2π​−52π​)cos(2π​−52π​)=4sin(10π​)cos(5π​)cos(10π​)
cos(10π​)=4sin(10π​)cos(5π​)cos(10π​)
以下で両辺を割るcos(10π​)1=4sin(10π​)cos(5π​)
以下で両辺を割る221​=2sin(10π​)cos(5π​)
代用 21​=2sin(10π​)cos(5π​)21​=sin(103π​)−sin(10π​)
sin(103π​)=cos(2π​−103π​)21​=cos(2π​−103π​)−sin(10π​)
21​=cos(5π​)−sin(10π​)
以下を証明する:cos(5π​)+sin(10π​)=45​​
因数分解の規則を使用する:a2−b2=(a+b)(a−b)a=cos(5π​)+sin(10π​)(cos(5π​)+sin(10π​))2−(cos(5π​)−sin(10π​))2=((cos(5π​)+sin(10π​))+(cos(5π​)−sin(10π​)))((cos(5π​)+sin(10π​))−(cos(5π​)−sin(10π​)))
改良(cos(5π​)+sin(10π​))2−(cos(5π​)−sin(10π​))2=2(2cos(5π​)sin(10π​))
以下を証明する:2cos(5π​)sin(10π​)=21​
2倍角の公式を使用: sin(2x)=2sin(x)cos(x)sin(52π​)=2sin(5π​)cos(5π​)sin(52π​)sin(5π​)=4sin(5π​)sin(10π​)cos(5π​)cos(10π​)
以下で両辺を割るsin(5π​)sin(52π​)=4sin(10π​)cos(5π​)cos(10π​)
次の恒等を使用する: sin(x)=cos(2π​−x)sin(52π​)=cos(2π​−52π​)cos(2π​−52π​)=4sin(10π​)cos(5π​)cos(10π​)
cos(10π​)=4sin(10π​)cos(5π​)cos(10π​)
以下で両辺を割るcos(10π​)1=4sin(10π​)cos(5π​)
以下で両辺を割る221​=2sin(10π​)cos(5π​)
代用 2cos(5π​)sin(10π​)=21​(cos(5π​)+sin(10π​))2−(cos(5π​)−sin(10π​))2=1
代用 cos(5π​)−sin(10π​)=21​(cos(5π​)+sin(10π​))2−(21​)2=1
改良(cos(5π​)+sin(10π​))2−41​=1
両辺に41​を足す(cos(5π​)+sin(10π​))2−41​+41​=1+41​
改良(cos(5π​)+sin(10π​))2=45​
用側の平方根を取得するcos(5π​)+sin(10π​)=±45​​
cos(5π​)負の数にはできないsin(10π​)負の数にはできないcos(5π​)+sin(10π​)=45​​
次のequationを追加するcos(5π​)+sin(10π​)=25​​((cos(5π​)+sin(10π​))+(cos(5π​)−sin(10π​)))=(25​​+21​)
改良cos(5π​)=45​+1​
=45​+1​
=21+45​+1​​​
簡素化 21+45​+1​​​:42​5+5​​​
21+45​+1​​​
21+45​+1​​=85+5​​
21+45​+1​​
結合 1+45​+1​:45+5​​
1+45​+1​
元を分数に変換する: 1=41⋅4​=41⋅4​+45​+1​
分母が等しいので, 分数を組み合わせる: ca​±cb​=ca±b​=41⋅4+5​+1​
1⋅4+5​+1=5+5​
1⋅4+5​+1
数を乗じる:1⋅4=4=4+5​+1
数を足す:4+1=5=5+5​
=45+5​​
=245+5​​​
分数の規則を適用する: acb​​=c⋅ab​=4⋅25+5​​
数を乗じる:4⋅2=8=85+5​​
=85+5​​​
累乗根の規則を適用する:nba​​=nb​na​​,, 以下を想定 a≥0,b≥0=8​5+5​​​
8​=22​
8​
以下の素因数分解: 8:23
8
828=4⋅2で割る =2⋅4
424=2⋅2で割る =2⋅2⋅2
2 は素数なので, さらに因数分解はできない=2⋅2⋅2
=23
=23​
指数の規則を適用する: ab+c=ab⋅ac=22⋅2​
累乗根の規則を適用する: nab​=na​nb​=2​22​
累乗根の規則を適用する: nan​=a22​=2=22​
=22​5+5​​​
有理化する 22​5+5​​​:42​5+5​​​
22​5+5​​​
共役で乗じる 2​2​​=22​2​5+5​​2​​
22​2​=4
22​2​
指数の規則を適用する: ab⋅ac=ab+c22​2​=2⋅221​⋅221​=21+21​+21​=21+21​+21​
類似した元を足す:21​+21​=2⋅21​=21+2⋅21​
2⋅21​=1
2⋅21​
分数を乗じる: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
共通因数を約分する:2=1
=21+1
数を足す:1+1=2=22
22=4=4
=42​5+5​​​
=42​5+5​​​
=42​5+5​​​

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-sin(30)e^0cos(0)arccos(cos((11pi)/6))arcsin(2/5)2cos(2pi)
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