integral of 1/((1+e^{-y))}

解

\int \frac{1}{( 1 + e ^{- y} )} d y

ln 1 + e^{- y} + y + C

解答ステップ

\int \frac{1}{1 + e ^{- y}} d y

\frac{1}{1 + e ^{- y}} = - \frac{e ^{- y}}{1 + e ^{- y}} + 1

= \int - \frac{e ^{- y}}{1 + e ^{- y}} + 1 d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{e ^{- y}}{1 + e ^{- y}} d y + \int 1 d y

\int \frac{e ^{- y}}{1 + e ^{- y}} d y = - ln 1 + e^{- y}

\int 1 d y = y

= - (- ln 1 + e^{- y}) + y

簡素化

= ln 1 + e^{- y} + y

定数を解答に追加する

= ln 1 + e^{- y} + y + C